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테런스 타오

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목차

1. 개요

테런스 타오는 1975년 오스트레일리아에서 태어난 수학자이다. 그는 어릴 때부터 수학적 재능을 보이며, 1986년부터 1988년까지 국제수학올림피아드에서 금메달을 포함한 메달을 획득했다. 9세에 대학교에 조기 입학하여 16세에 학사 및 석사 학위를 취득했으며, 21세에 프린스턴 대학교에서 박사 학위를 받았다. 타오는 그린-타오 정리 증명, 에르되시 불일치 문제 해결 등 다양한 수학 분야에서 뛰어난 업적을 이루었으며, 필즈상, 크라포드상 등 여러 권위 있는 상을 수상했다.

2. 생애

테런스 치셴 타오는 오스트레일리아 애들레이드에서 태어난 수학자이다. 어린 시절부터 수학 신동으로 주목받았으며, 국제 수학 올림피아드(IMO)에 참가하여 동메달, 은메달, 금메달을 차례로 수상했고, 특히 13세에 획득한 금메달은 역대 최연소 기록으로 남아있다. 9세에 플린더스 대학교에 입학하여 수학 공부를 시작했고, 1992년 미국으로 건너가 프린스턴 대학교 대학원에서 엘리어스 스타인의 지도로 1996년 박사 학위를 받았다.

1996년부터 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스(UCLA) 수학과 교수로 재직 중이며, 24세에 UCLA 역사상 최연소 정교수가 되었다.[26] 그의 연구 분야는 조화해석을 시작으로 정수론, 편미분 방정식, 조합론 등 매우 폭넓으며, 이는 수학자로서 이례적인 것으로 평가받는다. 특히 2004년에는 수학자 벤 그린(Ben Green영어)과 함께 등차수열에 관한 정수론의 난제인 그린-타오 정리를 해결하여 세계적인 명성을 얻었으며, 이 업적으로 오스트레일리아 수학회 메달을 수상했다. 이후에도 2015년 에르되시 불일치 문제를 증명하고, 2020년에는 센도브 추측을 충분히 큰 차수에 대해 증명하는 등 여러 중요한 수학 난제 해결에 기여했다. 2007년에는 왕립 학회 회원으로 선출되었다.[118]

2. 1. 어린 시절과 가족

테런스 치셴 타오는 오스트레일리아 애들레이드에서 태어났다.[10] 그의 부모는 홍콩에서 오스트레일리아로 이주한 이민자 1세대이다.[10] 아버지 빌리 타오(중국어: 陶象國)는 상하이 출신으로 홍콩 대학교에서 의학 학위를 받은 소아과 의사였으며,[11][117] 어머니 그레이스 레옹(중국어: 梁蕙蘭)은 홍콩 출신으로 홍콩 대학교에서 수학과 물리학을 우등으로 졸업하고 홍콩에서 중등학교 교사로 일했다.[12][13][117] 빌리와 그레이스는 홍콩 대학교 재학 중 만나 1972년 오스트레일리아로 이주했다.[10][12][117]

타오에게는 트레버와 나이젤이라는 두 형제가 있으며, 모두 국제 수학 올림피아드(IMO)에 호주 대표로 참가했다.[15][16] 특히 트레버 타오는 체스 국제 마스터이기도 하다.[17] 타오는 광둥어를 구사할 줄 알지만 중국어는 쓰지 못한다. 그는 미국 항공 우주국(NASA) 제트 추진 연구소(JPL)의 전기 기술자인 로라 타오와 결혼하여[12][18] 캘리포니아주 로스앤젤레스에서 두 자녀와 함께 살고 있다.[19]

폴 에르되시 (왼쪽)와 당시 10세의 타오, 1985년 촬영


타오는 어릴 때부터 신동으로 알려졌으며,[20] 2세 때 이미 수학적 재능을 보였다고 한다. 그는 9세에 플린더스 대학교에서 대학 수준의 수학 강좌를 수강하기 시작했다.[23] 8세 때 응시한 미국 SAT 수학 시험에서 800점 만점에 760점을 받아, 존스 홉킨스 영재 연구(CTY) 프로그램 역사상 8세 미만에 700점 이상을 받은 단 세 명의 어린이 중 한 명이 되었다.[23] 당시 수학 영재 연구(SMPY) 소장 줄리안 스탠리는 타오가 자신이 발견한 학생 중 수학적 추론 능력이 가장 뛰어나다고 평가했다.[6][24]

타오는 국제 수학 올림피아드(IMO) 역사상 가장 어린 참가자 기록을 가지고 있다. 그는 10세였던 1986년에 처음 참가하여 동메달을 획득했고, 1987년에는 은메달, 1988년에는 13세의 나이로 금메달을 획득했다. 이로써 그는 IMO 역사상 동, 은, 금메달을 모두 최연소로 수상한 유일한 참가자가 되었으며, 이 기록은 아직 깨지지 않았다.[25] 타오 본인은 어린 시절 어려운 문제를 계속 풀면서 사고력이 길러졌고, 영재 교육이 자신의 재능을 키우는 데 도움이 되었다고 회고했다.

2. 2. 학력 및 경력

테런스 타오는 어린 시절부터 수학적 재능을 보인 신동으로 알려졌다. 2세 때 이미 수학적 능력을 보였고, 8세에는 SAT 수학 시험에서 800점 만점에 760점을 받았다.[117] 이는 데이비슨 영재 프로그램 역사상 8세에 700점을 넘은 단 두 명 중 한 명의 기록이다. 9세에는 플린더스 대학교에 입학하여 수학 공부를 시작했다.

타오는 국제 수학 올림피아드(IMO) 역사상 최연소 참가 및 메달리스트 기록을 가지고 있다.

국제 수학 올림피아드(IMO) 수상 기록
연도나이메달
1986년11세동메달
1987년12세은메달
1988년13세금메달 (최연소 기록)



13세에 금메달을 획득한 기록은 아직 깨지지 않고 있다. 그의 남동생 두 명 역시 국제 수학 올림피아드에서 동메달을 획득했다.

타오는 14세에 고등학생을 위한 여름 프로그램인 연구 과학 연구소에 참여했으며, 이후 학업을 계속 이어갔다.

학력
기간학위학교지도교수
1991년 (16세)학사 및 석사플린더스 대학교가스 고드리[26]
1992년 ~ 1996년 (21세)박사 (Ph.D.)프린스턴 대학교엘리어스 스타인[26]



1992년, 타오는 풀브라이트 장학금을 받아 미국 프린스턴 대학교에서 박사 과정을 시작했으며, 1996년 21세의 나이로 박사 학위를 취득했다.[26]

박사 학위 취득 후인 1996년, 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스(UCLA) 수학과 교수로 합류했다. 1999년에는 24세의 나이로 UCLA 역사상 최연소 정교수로 승진했다.[26] 2013년 기준으로 UCLA 수학과 정교수로 재직 중이다. 그는 훗날 영재 교육이 자신의 재능을 키우는 데 도움이 되었다고 회고하고 있다.

타오는 조화해석을 시작으로 정수론, 편미분 방정식, 조합론 등 다양한 수학 분야에서 연구를 수행하며 폭넓은 연구 스펙트럼을 보여주었다. 그는 협력적인 연구 방식으로도 잘 알려져 있으며, 2015년 10월까지 68명의 공동 저자와 함께 연구를 진행했다.[6] 특히 영국의 수학자 벤 그린 Ben Green영어과의 공동 연구가 유명하다. 두 사람은 2004년, 소수들이 임의로 긴 등차 수열을 이룰 수 있다는 그린-타오 정리를 증명하여 정수론의 오랜 난제를 해결했다.[27][28] 이 업적으로 타오는 오스트레일리아 수학회 메달을 수상했다. ''뉴욕 타임스''는 이 증명에 대해 "2004년, 타오 박사는 현재 영국 캠브리지 대학교의 수학자인 벤 그린과 함께 소수 간의 간격이 동일한 수열인 소수 수열을 연구하여 쌍둥이 소수 추측과 관련된 문제를 해결했다. (예를 들어, 3, 7, 11은 간격이 4인 소수 수열을 구성하며, 수열의 다음 숫자인 15는 소수가 아니다.) 타오 박사와 그린 박사는 정수의 무한대 어딘가에서 동일한 간격과 임의의 길이를 가진 소수 수열을 항상 찾을 수 있다는 것을 증명했다."고 설명했다.[27][28]

이 외에도 타오는 여러 중요한 수학 문제 해결에 기여했다.


  • 나비에-스토크스 방정식의 존재와 매끄러움 밀레니엄 문제의 수정에 대한 유한 시간 폭발 가능성을 확립했다.[29]
  • 2015년, 해석적 정수론 내의 엔트로피 추정을 사용하여 에르되시 불일치 문제를 해결했다.[30]
  • 2019년, 콜라츠 추측과 관련하여 거의 모든 콜라츠 궤도가 거의 제한된 값을 가진다는 확률적 주장을 증명하며 진전을 이루었다.[31]
  • 2012년, 벤 그린과 함께 평면 위의 n개의 점 집합에서 정확히 3개의 점을 통과하는 최대 선의 수를 묻는 추측된 "과수원 심기 문제"의 증명을 발표했다.
  • 2018년, 브래드 로저스와 함께 리만 가설과 동일한 비음수성을 갖는 드 브루인-뉴먼 상수가 비음수임을 보였다.[32]
  • 2020년, 복소 다항식의 근과 임계점의 위치에 관한 센도프 추측을 충분히 높은 다항식의 차수를 가진 다항식의 특별한 경우에 증명했다.[33]


2007년에는 왕립 학회 회원으로 선출되었다.[118]

3. 주요 연구 업적

테런스 타오는 다양한 수학 분야에서 중요한 기여를 했으며, 주요 연구 업적은 다음과 같다.


  • 2004년: 수학자 벤 그린과 함께 정수론의 난제인 그린-타오 정리(소수 집합 안에 임의로 긴 등차수열이 존재한다는 정리)를 증명하였다.
  • 2012년: 약한 골드바흐 추측과 관련하여, 3 이상의 모든 홀수는 최대 5개의 소수의 합으로 표현될 수 있음을 증명하였다.[119]
  • 2013년: 소수가 극단적으로 치우치지 않고 분포한다는 것과 관련된 새로운 정리를 발견하였다.[120][121][122]
  • 2015년: 폴 에르되시가 제기한 에르되시 불일치 문제를 증명하였다.[123]
  • 2019년12월: 콜라츠 추측에 대해 "거의 모든 양의 정수에서 콜라츠 추측이 성립한다"는 내용의 논문을 발표하였다.[124]
  • 2020년: 복소 다항식의 임계점과 영점 사이의 관계에 대한 센도프 추측을 충분히 큰 차수에 대하여 증명하였다.

3. 1. 그린-타오 정리

2004년, 테런스 타오는 수학자 벤 그린( Ben Green영어 )과 함께 정수론의 오랜 난제였던 그린-타오 정리를 증명하여 학계에 큰 반향을 일으켰다. 이 업적으로 그는 오스트레일리아 수학회 메달을 수상하였다.

그린-타오 정리는 소수 집합 안에 임의로 긴 등차 수열이 존재한다는 것을 내용으로 한다. 이 증명은 엔드레 세메레디가 1975년에 발표한 세메레디 정리에 기반한다. 세메레디 정리는 특정 조건을 만족하는 정수 집합 내에 등차수열이 존재함을 보였는데, 그린과 타오는 이 정리를 더 넓은 범위의 정수 집합에 적용할 수 있도록 확장하는 "전이 원리"를 개발했다. 그린-타오 정리는 이 확장된 원리를 소수 집합에 적용한 특수한 경우에 해당하지만, 소수 집합이 확장된 세메레디 정리의 조건을 만족함을 보이는 과정은 매우 어려운 작업이었다.

2010년, 그린과 타오는 디리클레의 등차수열 정리를 다중 선형 형태로 확장하는 연구 결과를 발표했다. 정수 성분으로 이루어진 ''k'' × ''n'' 행렬 ''A''와 ''k'' × 1 행렬 ''v''가 주어지면, ''Ax'' + ''v''의 모든 성분이 소수가 되는 ''n'' × 1 행렬 ''x''가 무한히 많이 존재하기 위한 조건을 제시한 것이다. 초기 증명은 아직 증명되지 않은 추측에 의존하고 있어 불완전했지만, 이후 그린, 타오, 그리고 타마르 지글러의 공동 연구를 통해 해당 추측이 증명되면서 정리 또한 완전하게 증명되었다.

3. 2. 에르되시 불일치 문제

2015년 폴 에르되시가 제기한 에르되시 불일치 문제(Erdős discrepancy problem영어)를 증명하였다.[123]

3. 3. 센도프 추측 증명

2020년에는 복소 다항식의 임계점과 영점 사이의 관계에 대한 센도프 추측을 충분히 큰 차수에 대하여 증명했다.

3. 4. 기타 연구 분야



타오(왼쪽에서 두 번째)는 2021년 UCLA 학부생들과 함께


테런스 타오는 다양한 수학 분야에서 중요한 연구 성과를 거두었다.
미분 방정식

  • 2001년부터 2010년까지 타오는 제임스 콜리앤더, 마르쿠스 킬, 지글리올라 스타필라니, 히데오 타카오카와 공동 연구를 통해 슈뢰딩거 방정식, KdV 방정식, KdV형 방정식의 약한 해의 적합성과 관련된 여러 새로운 결과를 발견했다.
  • 마이클 크리스트, 콜리앤더, 타오는 카를로스 케니그, 구스타보 폰세, 루이스 베가의 방법을 발전시켜 특정 슈뢰딩거 및 KdV 방정식 해의 부적합성을 증명했다.[49]
  • 타오는 이온 베제나루와 공동으로 슈뢰딩거 방정식에 대한 추가적인 결과를 얻었다.
  • 콜리앤더, 킬, 스타필라니, 타카오카, 타오의 공동 연구는 3차원 공간에서 멱법칙 슈뢰딩거 방정식의 장기적 존재성과 산란 이론을 증명했다. 이 방법은 타오가 모니카 비샨, 샤오이 장과 공동으로 스케일 불변성이 깨지는 비선형성을 다루도록 확장되었다.
  • 로완 킬립, 타오, 비샨은 방사 대칭에서 2차원 문제에 대해 중요한 진전을 이루었다.
  • 2001년 타오는 2차원 도메인과 구면 범위를 갖는 파동 사상 방정식을 다루었다. 다니엘 타타루의 초기 연구를 기반으로, 충분히 작은 초기 데이터를 갖는 해의 전역적 적합성을 증명했다.[50] 이후 이 연구 일부를 벤자민-오노 방정식 설정에 적용했으며, 알렉산드루 이오네스쿠와 케니그는 타오의 방법을 사용하여 개선된 결과를 얻었다.[51]
  • 2016년 타오는 유한 시간 내에 불규칙한 거동을 보이는 해를 갖는 나비에-스토크스 방정식의 변형을 구성했다. 이는 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 문제 해결에 특정 비선형 구조를 고려해야 함을 시사하며, 일부 이전 해결 시도의 한계를 드러냈다.[52] 타오는 나비에-스토크스 방정식이 튜링 완전 시스템을 시뮬레이션할 수 있으며, 이를 통해 존재성과 매끄러움 문제를 부정적으로 해결할 수 있을 것이라고 추측했으나, 이는 아직 증명되지 않았다.[6][29]

조화 해석학

  • 벤트 푸글레데가 1970년대에 제시한 푸글레데의 추측에 대해, 타오는 유한군 설정에서 유사 문제의 반례 구성을 기반으로 5차원 이상 공간에서 이 추측이 성립하지 않음을 보였다.
  • 타오는 카밀 무스칼루, 크리스토프 틸레와 함께 특정 다중선형 특이 적분 연산자를 연구하여, ''L''''p'' 공간에 대한 연산자 연속성을 보장하는 조건을 식별했다. 이는 로널드 코이프만, 카를로스 케니그, 마이클 레이시, 이브 메이어, 엘리아스 스타인, 틸레 등의 이전 주요 결과를 통합하고 확장한 것이다.[54][55][56][57][58][59] 그는 또한 유사한 문제를 부르갱 공간 맥락에서 분석했으며, 이는 분산형 편미분 방정식의 해의 존재성을 증명하는 데 사용되었다.[60][61]
  • 타오의 연구 다수는 푸리에 해석의 "제한" 현상과 관련이 있다. 이는 찰스 페퍼먼, 로버트 스트리차르츠, 피터 토마스의 연구 이후 널리 연구된 주제이다.[62][63][64] 타오는 아나 바르가스, 루이스 베가와 협력하여 쌍선형 제한 문제 연구에 기여했으며, 새로운 지수를 확립하고 선형 제한 문제와의 연관성을 밝혔다. 그들은 또한 X선 변환 기반의 쌍선형 카케야 문제에 대한 유사 결과를 발견했다.
  • 2003년 타오는 토마스 울프의 아이디어를 2차 초곡면에 대한 제한 설정에 적용했다.[68] 조나단 베넷, 앤서니 카버리와의 협력을 통해 다중선형 설정을 더욱 발전시켰고, 이는 장 부르갱과 래리 구스가 일반적인 진동 적분 연산자에 대한 추정을 도출하는 데 광범위하게 사용되었다.[69]

압축 센싱 및 통계학

  • 에마뉘엘 캔데스, 저스틴 롬버그와 협력하여 타오는 압축 센싱 분야에 기여했다. 그들은 볼록 최적화 문제를 통해, 최소한의 0이 아닌 항목을 가진 부정 결정 선형 시스템의 해("희소성")를 찾는 문제를 해결할 수 있는 조건을 식별했다. 비슷한 시기 데이비드 도노호도 유사한 문제를 연구했다.[70]
  • 캔데스, 롬버그, 타오는 이산 푸리에 변환 행렬 경우를 연구했으며, 캔데스와 타오는 "제한 등거리" 개념을 도입하여 충분히 희소한 해의 정확하거나 최적에 가까운 복구가 가능함을 보였다.[71] 이후 롬버그와의 협력을 통해 증명을 단순화했다. 그들은 또한 랜덤 행렬 이론을 활용하여 많은 행렬이 제한 등거리 속성을 만족함을 보였다.
  • 2007년, 캔데스와 타오는 선형 회귀를 위한 새로운 통계적 추정기인 "단치히 선택기"를 도입하고 그 성능을 증명했다. 이는 통계적 라쏘 등과 비교되며 연구되고 있다.[72][73]
  • 2009년, 캔데스와 벤자민 레흐트는 행렬의 일부 정보만으로 낮은 랭크의 행렬을 복구하는 문제를 연구했다.[74] 그들은 핵 노름 최소화를 통해 볼록 최적화 문제로 접근했으며, 2010년 캔데스와 타오는 추가적인 결과와 기법을 개발했다. 이후 레흐트[75] 및 다른 연구자들에 의해 개선되었다.[76][77][78][79][80]

조합론 및 정수론

  • 2004년, 타오는 장 부르갱과 네츠 카츠와 함께 소수 차수의 유한체 부분 집합의 덧셈 및 곱셈 구조를 연구했다. 그들은 자명하지 않은 부분환이 없는 유한체의 부분 집합에 대해, 그 원소들의 합과 곱으로 만들어지는 집합의 크기가 일정 수준 이상임을 정량적으로 증명했다. 이 결과는 부르갱, 알렉세이 글리비추크, 세르게이 코냐긴에 의해 개선되었다.[85][86]
  • 벤 그린과 함께 소수 집합 안에 임의로 긴 등차 수열이 존재함을 증명했다 (그린-타오 정리). 이는 엔드레 세메레디의 세메레디 정리를 기반으로 하며, 타오의 가장 잘 알려진 결과 중 하나이다.
  • 2010년, 그린과 타오는 디리클레의 등차수열 정리를 다중 선형으로 확장하여, ''k'' × ''n'' 행렬 ''A''와 모든 구성 요소가 정수인 ''k'' × 1 행렬 ''v''가 주어졌을 때, ''Ax'' + ''v''의 모든 구성 요소가 소수가 되는 정수 ''n'' × 1 행렬 ''x''가 무한히 많이 존재하기 위한 조건을 제시했다. 이 증명은 미증명 추측에 의존했으나, 해당 추측은 그린, 타오, 타마르 지글러의 후속 연구에서 증명되었다.
  • 2012년 - 약한 골드바흐 추측과 관련하여, 1보다 큰 모든 홀수는 최대 5개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명했다.[119]
  • 2013년 - 소수가 극단적으로 치우치지 않고 분포한다는 것과 관련된 새로운 정리를 발견했다.[120][121][122]
  • 2015년 - 폴 에르되시가 제기한 Discrepancy 문제를 증명했다.[123]
  • 2019년12월 - 콜라츠 추측에 대해 "거의 모든 양의 정수에 대해 콜라츠 추측이 성립한다"는 내용의 논문을 발표했다.[124]

4. 수상 경력

타오는 수년 동안 수많은 수학 관련 명예와 상을 받았다.[34] 그는 왕립 학회 회원, 호주 과학 아카데미(통신 회원), 미국 국립 과학 아카데미(외국 회원), 미국 예술 과학 아카데미, 미국 철학 학회[35], 미국 수학회 회원이다.[36]

주요 수상 내역은 다음과 같다.

테런스 타오의 주요 수상 내역
연도상 이름수상 사유 / 비고
1999패커드 펠로우십
2000살렘상L^p 조화해석과 관련된 기하학적 측도론 및 편미분 방정식 연구
2002미국 수학회 보처 기념상파동 사상(wave maps) 방정식의 소볼레프 공간 임계 정칙성 문제에 대한 획기적인 연구. (Global regularity of wave maps I. Small critical Sobolev norm in high dimensions, Int. Math. Res. Notices (2001), no.6, 299–328 와 Global regularity of wave maps II. Small energy in two dimensions, Comm. Math. Phys. 224 (2001), no. 2, 443–544 에 대해) 및 KdV 등 방정식의 최적 소볼레프 공간 전역 정칙성 연구, Strichartz 및 쌍선형 추정 기여 등
2003클레이 수학 연구소 클레이 연구상해석학 분야, 특히 푸리에 해석의 제약 정리, 파동 사상 방정식 연구, KdV형 방정식의 전역 존재 정리, 앨런 너슨과 함께 혼의 추측 해결 공로
2005호주 수학회 메달그린-타오 정리 증명 등 업적
2005오스트로스키상분석적 및 조합론적 수론 분야 업적 (벤 그린과 공동 수상)
2005미국 수학회 레비 L. 코넌트상해설 기사 "벌집과 에르미트 행렬의 합" (AMS 공지, 48 (2001), 175–186.) (앨런 너슨과 공동 수상)
2006필즈상편미분 방정식, 조합론, 조화 해석, 가법적 정수론에 대한 기여[37][38]
2006맥아더상 (맥아더 펠로우십)
2006SASTRA 라마누잔상
2006슬론 펠로우십
2008앨런 T. 워터맨상정수론, 미분 방정식, 대수, 조화 해석 등 여러 수학 분야에 대한 독창적 기여
2008온사거 메달수학적 깊이, 폭, 양을 전례 없는 방식으로 결합한 공로. NTNU에서 "소수에서의 구조와 무작위성" 주제로 라르스 온사거 강연 진행.
2010파이살 국왕 국제상 (과학 부문)
2010노스웨스턴 대학교 네머스 수학상
2010폴리아상엠마누엘 칸데스와 공동 수상
2012스웨덴 왕립 과학 아카데미 크라포드상
2012사이먼스 연구원
2014수학 브레이크스루상조화 해석, 조합론, 편미분 방정식, 분석적 수론에 대한 수많은 획기적인 기여
2014왕립 학회 왕립 메달
2014존스 홉킨스 영재 센터 CTY 우수 동문상
2015PROSE 상 (수학 부문)저서 "힐베르트의 다섯 번째 문제와 관련 주제"
2019리만상제1회(2019년) 수상자로 2021년 시상[41]
2019카네기 재단 위대한 이민자상
2020아스투리아스 공주상 (기술 및 과학 연구 부문)압축 센싱 연구 (엠마누엘 칸데스와 공동 수상)
2020헝가리 과학 아카데미 볼리아이상저서 Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis, AMS, 2006 에 대해
2021IEEE 잭 S. 킬비 신호 처리 메달
2022올해의 호주인 (어드밴스 글로벌 오스트레일리아인; Advance.org)
2022프랑스 과학 아카데미 그랑 메달
2023알렉산더슨상평균적으로 짧은 간격에서 유계 곱셈 함수의 고차 균일성. 수학 연보, 제2시리즈 (2023), 197(2): 739–857. (카이사 마토마키, 막심 라드지빌, 요니 테레바이니엔, 타마르 지글러와 공동 수상)


5. 저서

연도제목출판사비고
2006수학 문제 풀이: 개인적인 관점옥스퍼드 대학교 출판부ISBN 978-0-19-920560-8 (1992년 초판의 2판)
2006비선형 분산 방정식: 국소 및 전역 분석미국 수학회CBMS 지역 컨퍼런스 시리즈 수학 106, ISBN 0-8218-4143-2
2006가법 조합론케임브리지 대학교 출판부반 흐우 부 공저, 케임브리지 고급 수학 연구 105, ISBN 978-0-521-85386-6 [111][112]
2008구조와 무작위성: 수학 블로그 1년차 페이지미국 수학회ISBN 978-0-8218-4695-7
2009푸앵카레의 유산, 수학 블로그 2년차 페이지. 1부미국 수학회ISBN 978-0-8218-4883-8
2009푸앵카레의 유산, 수학 블로그 2년차 페이지. 2부미국 수학회ISBN 978-0-8218-4885-2
2010룸의 엡실론, I: 실해석학. 수학 블로그 3년차 페이지미국 수학회수학 대학원 연구 117, ISBN 978-0-8218-5278-1 [113]
2010룸의 엡실론, II. 수학 블로그 3년차 페이지미국 수학회ISBN 978-0-8218-5280-4
2011측도론 입문미국 수학회수학 대학원 연구 126, ISBN 978-0-8218-6919-2 [114]
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